如果不小心得罪了下属，可以采取以下措施来解决问题和改善关系：

1. **诚实面对：** 首先要诚实地面对问题，承认自己的错误或失误。不要回避或掩盖，而是直接沟通并表达歉意。

2. **道歉和解释：** 对下属诚恳地道歉，解释自己的行为或言论的原因，并说明这不是你的本意。表达自己的诚意，希望能够重新建立良好的工作关系。

3. **倾听对方：** 给下属充分的机会表达他们的感受和看法，倾听他们的意见和想法。理解他们的立场和感受是解决问题的关键。

4. **采取行动：** 除了口头道歉外，还可以采取实际行动来弥补错误，比如提供额外的支持或资源，确保类似的问题不再发生。

5. **建立信任和合作：** 努力重建信任和合作关系，展示你对团队的重视和支持。通过积极的沟通和合作，逐步恢复良好的工作氛围。

6. **学习和改进：** 思考问题的原因并从中吸取教训，学习如何更好地与下属沟通和相处。持续改进自己的领导和管理技能，以避免类似的问题再次发生。

通过以上措施，你可以与下属建立更加积极和健康的工作关系，促进团队的和谐发展。