数列的通项公式和求和公式是数列研究中的两个重要内容。
通项公式用于描述数列中任意一项的值，而求和公式则用于计算数列中前n项的和。
对于等差数列，其通项公式为：
a_n = a_1 + (n - 1)d
a
n
=a
1
+(n−1)d
其中，
a_1
a
1
是首项，d 是公差，n 是项数。
等差数列的求和公式有两种形式：
公式一：
S_n = \\frac{n}{2} (2a_1 + (n - 1)d)
S
n
=
2
n
(2a
1
+(n−1)d)
这个公式是通过将等差数列的每一项都写出来，然后相加得到的。
公式二（更常用）：
S_n = \\frac{n}{2} (a_1 + a_n)
S
n
=
2
n
(a
1
+a
n
)
这个公式利用了等差数列的性质，即首项和末项的平均值乘以项数等于前n项和。
对于等比数列，其通项公式为：
a_n = a_1 \\times q^{(n - 1)}
a
n
=a
1
×q
(n−1)
其中，
a_1
a
1
是首项，q 是公比，n 是项数。
等比数列的求和公式也有两种形式：
当公比q不等于1时：
S_n = \\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}
S
n
=
1−q
a
1
(1−q
n
)
这个公式是通过等比数列的求和公式推导出来的，利用了等比数列的性质。
当公比q等于1时：
S_n = n \\times a_1
S
n
=n×a
1
因为此时每一项都相等，所以前n项和就是项数乘以首项。
这些公式在数列的研究中非常重要，它们不仅可以帮助我们快速找到数列中任意一项的值，还可以方便地计算数列的前n项和。
需要注意的是，这些公式都是基于数列的特定性质（等差或等比）推导出来的，因此在使用时需要注意数列是否满足这些性质。如果不满足，那么这些公式可能无法正确应用。