等比数列是一种数列，其中每一项（除了第一项）都是前一项的固定倍数。这个固定倍数被称为公比。等比数列有很多有用的性质，以下是一些基本性质及其应用：
1. 公比：如果a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 是等比数列，那么公比r是常数，且r^n = ar^(n-1) / ar^n。因此，我们可以通过已知的相邻项关系来确定公比。
应用：已知an和a_{n+1}，我们可以求出公比r = a_{n+1} / an。
2. 和/差公式：设a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 是等比数列，那么它们的和Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)。同样，这些项的差Dn = ar^(n-1) / (1 - r)。
应用：在等比数列中，我们常用和/差公式来简化求和和求差运算。
3. 通项公式：如果a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 是等比数列，那么其通项公式为an = ar^(n-1)。
应用：通项公式可以帮助我们找到等比数列中任意一项的值。
4. 求和公式：如果a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1) 是等比数列，那么它们的和Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)。
应用：求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和。
5. 等比中项：如果一个数列{a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1)}是等比数列，那么它的等比中项是ar^(n/2)（如果n是奇数）或(ar^((n/2) - 1) + ar^((n/2) + 1)) / 2（如果n是偶数）。
应用：等比中项可以帮助我们求取等比数列的“中心”值。
6. 无穷等比数列的和：如果一个等比数列的公比绝对值小于1，那么它的无穷项和S = a / (1 - r)。
应用：这个公式可以帮助我们计算无穷等比数列的和。