答：不可以。小区垃圾分类督导员回收垃圾不可以私自卖，因为这是违反国家有关法律法规的。按照《固体废物污染防治法》的规定：“固体废物的处理、利用、回收，应当遵守国家的政策，依法实施责任制及其他国家法律、法规、规章的规定。”

私自卖出回收垃圾，违反了国家有关法律法规，不仅会被处罚，而且也会给社会造成严重的环境污染问题。所以，小区垃圾分类督导员回收垃圾不可以私自卖，而应当按照国家有关法律法规规定，把回收垃圾交给社会上统一收取的垃圾处理企业或者有权处理垃圾的单位。